Un solide a 8 faces, 12 sommets et 18 arêtes. Quel est ce solide ?
\(\text{prisme hexagonal}\)
Dans cet exercice, on cherche à identifier un solide connaissant son nombre de faces, sommets et arêtes. Nous utiliserons la formule d’Euler pour les polyèdres convexes.
Pour tout polyèdre convexe, on a la relation d’Euler :
\[ V - E + F = 2. \]
Substituons les valeurs de l’énoncé :
\[ 12 - 18 + 8 = 2. \]
Le résultat vaut bien \(2\), donc ces nombres sont cohérents pour un polyèdre convexe.
Un prisme est un polyèdre qui possède : 1. Deux faces parallèles et identiques, appelées bases. 2. Des faces latérales rectangulaires, une pour chaque côté de la base.
Soit \(p\) le nombre de côtés de la base (un polygone à \(p\) côtés). Un prisme possède :
Ici \(F = 8\), donc
\[ 8 = 2 + p \quad\Longrightarrow\quad p = 6. \]
Les bases sont donc des hexagones.
Arêtes : un prisme à \(p\) côtés a \(3p\) arêtes (chaque base a \(p\) arêtes, soit \(2p\), et il y a \(p\) arêtes latérales). Pour \(p = 6\) :
\[ E = 3p = 3 \times 6 = 18, \]
ce qui correspond à l’énoncé.
Sommets : un prisme à \(p\) côtés a \(2p\) sommets (chaque base apporte \(p\) sommets). Pour \(p = 6\) :
\[ V = 2p = 2 \times 6 = 12, \]
ce qui correspond également à l’énoncé.
Le solide décrit est donc un prisme dont la base est un hexagone, c’est-à-dire un prisme hexagonal.