Exercice 30

Identifier le solide : il possède 5 faces (dont 2 triangulaires et 3 rectangulaires), 9 arêtes et 6 sommets.

Réponse

\(\text{prisme triangulaire droit}\)

Corrigé détaillé

Présentation de l’exercice

L’objet à identifier est un polyèdre qui possède : - F = 5 faces - E = 9 arêtes - V = 6 sommets

De plus, on sait que parmi ses faces, 2 sont triangulaires et 3 sont rectangulaires.

Étape 1 : Compter et qualifier les faces

1. On a 2 faces triangulaires. Chaque face triangulaire a 3 côtés.
2. On a 3 faces rectangulaires. Chaque face rectangulaire a 4 côtés.

Étape 2 : Visualiser la structure possible

Un solide qui combine des faces triangulaires et rectangulaires peut être un prisme ou une pyramide tronquée. Ici : - Les deux faces triangulaires sont opposées et parallèles : on peut les considérer comme les « bases » du solide. - Les faces rectangulaires joignent les arêtes correspondantes des deux triangles.

Ce montage correspond à un prisme dont la section de base est un triangle.

Étape 3 : Vérification par le théorème d’Euler

Pour tout polyèdre convexe, le théorème d’Euler établit :

\[ V - E + F = 2 \]

Vérifions avec nos valeurs :

\[ 6 \;-\; 9 \;+\; 5 \;=\; 2 \]

Le calcul est vérifié, ce qui confirme que la topologie est cohérente.

Étape 4 : Conclusion

Le solide recherché est donc un prisme droit triangulaire : il a deux bases triangulaires identiques, reliées entre elles par trois faces latérales rectangulaires.