Exercice 34

Un polyèdre convexe possède 10 sommets et 15 arêtes. Combien de faces possède-t-il ? Utiliser la formule d’Euler.

Réponse

\(7\)

Corrigé détaillé

Trouver le nombre de faces d’un polyèdre convexe

Rappel de la formule d’Euler pour les polyèdres convexes

Pour tout polyèdre convexe, le nombre de sommets \(V\), d’arêtes \(E\) et de faces \(F\) vérifie la relation :

\[ V - E + F = 2. \]

Application de la formule

1. On connaît le nombre de sommets : \(V = 10\).
   
2. On connaît le nombre d’arêtes : \(E = 15\).
   
3. On cherche le nombre de faces \(F\).

On remplace \(V\) et \(E\) dans la formule :

\[ 10 - 15 + F = 2. \]

Résolution pas à pas

1. Calculer \(10 - 15\) : \[ 10 - 15 = -5. \]
2. On réécrit l’équation : \[ -5 + F = 2. \]
3. Pour isoler \(F\), on ajoute 5 de chaque côté : \[ -5 + F + 5 = 2 + 5 \] \[ F = 7. \]

Conclusion

Le polyèdre a \(7\) faces.