Un rectangle a une longueur de 12 cm et une largeur de 8 cm. On agrandit ce rectangle en multipliant toutes ses dimensions par 2,5. Calculer les nouvelles dimensions. L’aire est-elle aussi multipliée par 2,5 ? Justifier.
Nouvelles dimensions : \(30\,\text{cm}\) et \(20\,\text{cm}\). L’aire est multipliée par \(6{,}25\) et non par \(2{,}5\).
On agrandit le rectangle en multipliant toutes ses dimensions par le même facteur, ici \(2{,}5\). Cela signifie que chaque longueur devient 2,5 fois plus grande.
On obtient donc un rectangle de \(30\,\text{cm}\) sur \(20\,\text{cm}\).
Aire du rectangle initial : \[ A_{\text{init}} = \text{longueur}\times\text{largeur} = 12 \times 8 = 96\,\text{cm}^2. \]
Aire du rectangle agrandi : \[ A_{\text{agrandi}} = 30 \times 20 = 600\,\text{cm}^2. \]
Pour savoir de combien est multipliée l’aire, on calcule le rapport :
\[ \frac{A_{\text{agrandi}}}{A_{\text{init}}} = \frac{600}{96} = 6{,}25 = (2{,}5)^2. \]
Conclusion pédagogique : - Quand on multiplie toutes les longueurs d’une figure géométrique par un facteur \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\). - Ici \(k=2{,}5\), donc l’aire n’est pas multipliée par \(2{,}5\) mais par \((2{,}5)^2=6{,}25\).
L’aire subit une variation quadratique par rapport au facteur d’homothétie, c’est-à-dire qu’elle est multipliée par le carré de ce facteur.