Exercice 7

Deux nombres ont pour PGCD 5. Le premier est 15. Donner trois valeurs possibles pour le second nombre.

Réponse

{10, 20, 25}

Corrigé détaillé

Comprendre le problème

On cherche un deuxième nombre dont le plus grand commun diviseur (PGCD) avec 15 vaut 5.

1. Rappel de la définition du PGCD

Le PGCD de deux entiers est le plus grand entier qui divise simultanément ces deux nombres.

2. Conséquences pour notre cas

• Le PGCD est 5, donc chacun des deux nombres est multiple de 5.
• Le premier nombre est 15, et on peut écrire 15 = 5 × 3.
• Pour que le PGCD soit exactement 5, le second nombre doit s’écrire 5 × k, où k est un entier qui n’a aucun diviseur commun avec 3 (sinon le PGCD serait plus grand que 5).

3. Choix de valeurs de k

On prend des entiers k tels que k et 3 soient premiers entre eux (c’est-à-dire sans facteur 3). Par exemple : - k = 2 (pas de facteur 3) - k = 4 (pas de facteur 3) - k = 5 (pas de facteur 3)

4. Calcul des nombres correspondants

• Pour k = 2, le nombre est 5 × 2 = 10, et PGCD(15, 10) = 5.
• Pour k = 4, le nombre est 5 × 4 = 20, et PGCD(15, 20) = 5.
• Pour k = 5, le nombre est 5 × 5 = 25, et PGCD(15, 25) = 5.

Conclusion

Trois valeurs possibles pour le second nombre sont donc :

\[10,\;20,\;25\]

Chacune de ces valeurs vérifie PGCD(15, nombre) = 5.