Exercice 15

Un fleuriste veut composer des bouquets identiques avec 72 roses et 90 tulipes. Quel est le nombre maximum de bouquets qu’il peut réaliser ? Combien de roses et de tulipes y aura-t-il dans chaque bouquet ?

Réponse

\(18\) bouquets ; \(4\) roses et \(5\) tulipes par bouquet.

Corrigé détaillé

Compréhension de l’énoncé

L’énoncé indique que le fleuriste dispose de \(72\) roses et \(90\) tulipes et qu’il souhaite composer des bouquets tous identiques, c’est-à-dire contenant le même nombre de roses et de tulipes. Nous devons déterminer :

1. Le nombre maximal de bouquets qu’on peut réaliser sans rester avec des fleurs perdues.
2. Le nombre de roses et de tulipes dans chaque bouquet.

Recherche du nombre maximal de bouquets

Pour que tous les bouquets soient identiques et qu’on utilise exactement toutes les fleurs, il faut diviser les \(72\) roses et les \(90\) tulipes en paquets de même taille. Le nombre de bouquets doit donc être un diviseur commun de \(72\) et de \(90\), et on cherche le plus grand de ces diviseurs, c’est-à-dire le plus grand commun diviseur (PGCD).

Calcul du PGCD de 72 et 90 par l’algorithme d’Euclide

1. On divise le plus grand nombre par le plus petit et on regarde le reste.
   90 = 1 + 18
   Le reste est \(18\).
2. On applique à nouveau l’algorithme en remplaçant le plus grand par \(72\) et le plus petit par le reste \(18\).
   72 = 4 + 0
   Le reste est \(0\), donc l’algorithme s’arrête ici.

Le PGCD est le dernier reste non nul, donc \( (72,90) = 18 \) .

Détermination du nombre de fleurs par bouquet

Si on peut réaliser \(18\) bouquets, on divise le nombre total de chaque type de fleur par \(18\) :

• Nombre de roses par bouquet :
  = 4
  
• Nombre de tulipes par bouquet :
  = 5
  

Conclusion

Le fleuriste peut composer au maximum \( 18 \) bouquets identiques, chacun contenant \( 4 \) roses et \( 5 \) tulipes.