Exercice 27

Calculer le PGCD de 150 et 225.

Réponse

\(75\)

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Principe du PGCD

Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de deux nombres entiers est le plus grand nombre qui divise simultanément ces deux nombres sans laisser de reste. L’algorithme d’Euclide est une méthode efficace pour le calculer.

Algorithme d’Euclide

1. On divise le plus grand des deux nombres par le plus petit.
2. On remplace le plus grand par le plus petit et le plus petit par le reste de la division.
3. On répète ces opérations jusqu’à ce que le reste soit nul.
4. Le PGCD est alors le dernier reste non nul obtenu.

Application à 150 et 225

1. On identifie les nombres : 225 (plus grand) et 150 (plus petit).

2. Division euclidienne de 225 par 150 :

   \[ 225 = 150 \times 1 + 75 \]

   Ici, le quotient est 1 et le reste est 75.

3. On remplace :

   • Nouveau plus grand = 150
   • Nouveau plus petit = 75

4. Division de 150 par 75 :

   \[ 150 = 75 \times 2 + 0 \]

   Le reste est maintenant 0.

5. Dès que le reste de la division est nul, on arrête l’algorithme. Le dernier reste non nul est 75.

Conclusion

Le Plus Grand Commun Diviseur de 150 et 225 est donc :

\[ \mathrm{PGCD}(150,225) = 75 \]