Exercice 35

Deux nombres \(a\) et \(b\) ont pour PGCD 18 et pour PPCM 630. Sachant que \(a = 90\), déterminer \(b\). Vérifier ensuite que \(\text{PGCD}(a,b) \times \text{PPCM}(a,b) = a \times b\).

Réponse

\(b=126\) et \(18\times630=90\times126\).

Corrigé détaillé

Calcul de \(b\)

Pour deux entiers, le produit du PGCD par le PPCM correspond au produit des deux nombres. Avec un PGCD de 18 et un PPCM de 630, leur multiplication donne \(18\times630=11340\). Comme ce résultat est aussi le produit de \(a\) par \(b\), et que \(a=90\), on partage 11340 en 90 unités égales. Chaque unité vaut 126, donc le second nombre recherché est 126.

Vérification

• Le plus grand entier qui divise à la fois 90 et 126 est 18, ce qui confirme le PGCD.
• Le plus petit entier multiple à la fois de 90 et de 126 est 630, ce qui confirme le PPCM.
• Enfin, le produit du PGCD par le PPCM \(18\times630\) vaut 11340 et le produit de \(90\) par \(126\) vaut également 11340, ce qui vérifie la relation attendue.