Exercice 1

Calculer le PGCD de 12 et 18.

Réponse

\(6\)

Corrigé détaillé

Définition du PGCD

Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de deux nombres entiers est le plus grand entier qui divise ces deux nombres sans laisser de reste.

Méthode : décomposition en facteurs premiers

Étape 1 : décomposition de 12

On recherche des nombres premiers dont le produit est 12 :
\[ 12 = 2 \times 6 = 2 \times (2 \times 3) = 2^2 \times 3 \]

Étape 2 : décomposition de 18

On recherche des nombres premiers dont le produit est 18 :
\[ 18 = 2 \times 9 = 2 \times (3 \times 3) = 2 \times 3^2 \]

Étape 3 : identification des facteurs communs

On compare les décompositions :
- Pour 12 : \(2^2 \times 3\)
- Pour 18 : \(2 \times 3^2\)

Les facteurs premiers communs sont 2 et 3. On prend la plus petite puissance de chaque facteur présent dans les deux décompositions :
- Facteur 2 : puissance minimale \(\min(2,1)=1\)
- Facteur 3 : puissance minimale \(\min(1,2)=1\)

Étape 4 : calcul du PGCD

On multiplie ces facteurs communs :
\[ \mathrm{PGCD}(12,18)=2^1\times 3^1=2\times 3=6 \]

Résultat

Le plus grand commun diviseur de 12 et 18 est 6.