Exercice 18

Deux autobus partent en même temps d’un arrêt. Le premier revient toutes les 12 minutes, le second toutes les 18 minutes. Au bout de combien de temps se retrouveront-ils à nouveau ensemble à l’arrêt ?

Réponse

\(36\) minutes

Corrigé détaillé

Contexte et objectif

Dans cet exercice, on cherche à déterminer à quel moment deux autobus, qui reviennent respectivement toutes les 12 minutes et toutes les 18 minutes à leur arrêt de départ, se retrouveront de nouveau en même temps à cet arrêt.

1. Définition d’un multiple

Un multiple d’un nombre entier n est le produit de n par un entier. Par exemple : - Les multiples de 12 sont : 12, 24, 36, 48, … - Les multiples de 18 sont : 18, 36, 54, 72, …

Le plus petit multiple commun (PPCM) de deux nombres est le plus petit nombre non nul qui apparaît dans la liste des multiples de chacun des deux nombres.

2. Méthode 1 : listing des multiples

1. On énumère quelques premiers multiples de 12 : \[ 12,\;24,\;36,\;48,\;60,\;… \]
2. On énumère quelques premiers multiples de 18 : \[ 18,\;36,\;54,\;72,\;… \]
3. On repère le plus petit nombre qui apparaît dans les deux listes : \[ 36 \] Donc, le premier moment où les deux autobus se retrouvent ensemble est au bout de 36 minutes.

3. Méthode 2 : décomposition en facteurs premiers

1. On décompose chaque période en facteurs premiers :
   • \(12 = 2^2 \times 3\)
   • \(18 = 2 \times 3^2\)
2. Pour obtenir le plus petit multiple commun, on prend chaque facteur premier à la plus grande puissance qui apparaît :
   • Puissance la plus grande de 2 : \(2^2\)
   • Puissance la plus grande de 3 : \(3^2\)
3. On calcule : \[ 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 \]

4. Conclusion

Les deux autobus se retrouvent à nouveau ensemble à l’arrêt au bout de 36 minutes.