Exercice 24

Deux nombres ont pour PGCD 12 et pour PPCM 144. L’un des deux nombres est 48. Quel est l’autre nombre ?

Réponse

\(36\)

Corrigé détaillé

Présentation de l’exercice

On cherche un deuxième nombre entier positif dont le PGCD avec 48 vaut 12 et dont le PPCM avec 48 vaut 144.

Rappel de cours : PGCD et PPCM

• Le PGCD (plus grand commun diviseur) de deux nombres est le plus grand entier qui divise ces deux nombres.
• Le PPCM (plus petit commun multiple) de deux nombres est le plus petit entier non nul qui est multiple des deux nombres.

Propriété fondamentale

Pour deux entiers positifs \(a\) et \(b\), on a la relation :

\[ \text{PGCD}(a,b) \times \text{PPCM}(a,b) \,=\, a \times b. \]

Cette formule permet de relier le produit des deux nombres au produit de leur PGCD et de leur PPCM.

Étapes de la résolution

1. Identifions les valeurs connues

• Le premier nombre est \(48\).
• On note le deuxième nombre inconnu \(y\).
• On sait que :
  • \(\text{PGCD}(48,y)=12\).
  • \(\text{PPCM}(48,y)=144\).

2. Application de la propriété

D’après la formule ci-dessus, on a :

\[ 48 \times y = \text{PGCD}(48,y) \times \text{PPCM}(48,y) = 12 \times 144. \]

• Calculons d’abord \(12 \times 144\) :
  • \(12 \times 100 = 1200\)
  • \(12 \times 44 = 528\)
  • Somme : \(1200 + 528 = 1728\)

Donc :

\[ 48 \times y = 1728. \]

3. Détermination de \(y\)

Pour retrouver \(y\), on constate que le produit de 48 par \(y\) vaut 1728. Il suffit de partager 1728 par 48 :

• \(48 \times 30 = 1440\)
• \(48 \times 6 = 288\)
• Somme : \(1440 + 288 = 1728\)

Ainsi, \(y = 30 + 6 = 36\).

4. Vérification

• PGCD(48,36) :
  • Les diviseurs de 48 sont notamment 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, …
  • Les diviseurs de 36 sont notamment 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, …
  • Le plus grand commun diviseur est bien \(12\).
• PPCM(48,36) :
  • On peut remarquer que \(48 = 12 \times 4\) et \(36 = 12 \times 3\),
  • Le PPCM est donc \(12 \times 4 \times 3 = 144\).

Les conditions sont bien satisfaites.

Conclusion

Le deuxième nombre recherché est 36.