Calculer le PPCM de 24 et 30.
\(120\)
Le PPCM de deux nombres entiers est le plus petit nombre entier non nul qui est multiple de ces deux nombres.
On commence par décomposer chaque nombre en produit de facteurs premiers :
Pour 24 : \[ 24 = 2 \times 12 = 2 \times (2 \times 6) = 2 \times 2 \times (2 \times 3) \] On obtient donc : \[ 24 = 2^{3} \times 3^{1} \]
Pour 30 : \[ 30 = 2 \times 15 = 2 \times (3 \times 5) \] On obtient donc : \[ 30 = 2^{1} \times 3^{1} \times 5^{1} \]
Selon la propriété du PPCM, pour chaque nombre premier, on prend l’exposant le plus élevé qui apparaît dans l’une ou l’autre des décompositions.
| Nombre premier | Exposant dans 24 | Exposant dans 30 | Exposant retenu |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 1 | 3 |
| 3 | 1 | 1 | 1 |
| 5 | 0 | 1 | 1 |
On multiplie ensuite ces puissances : \[ \mathrm{PPCM}(24,30) = 2^{3} \times 3^{1} \times 5^{1} = 8 \times 3 \times 5. \]
Calculons pas à pas :
Ainsi : \[ \mathrm{PPCM}(24,30) = 120. \]
Le plus petit multiple commun de 24 et 30 est 120. Il s’agit du plus petit entier qui soit à la fois divisible par 24 et par 30.