Exercice 3

Calculer le PGCD de 20 et 30.

Réponse

\(10\)

Corrigé détaillé

Définition du PGCD

Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de deux entiers positifs est le plus grand entier qui divise ces deux nombres sans laisser de reste. Pour le calculer, on utilise généralement l’algorithme d’Euclide, un procédé simple et efficace.

Algorithme d’Euclide (version sans écrire d’équations)

1. On commence par diviser le plus grand nombre par le plus petit :
   • Diviser \(30\) par \(20\).
   • Le quotient est 1 et le reste est 10.
2. On remplace alors le plus grand nombre par l’ancien plus petit, et l’ancien plus petit par le reste obtenu :
   • On divise maintenant \(20\) par \(10\).
   • Le quotient est 2 et le reste est 0.
3. Dès que le reste devient nul, on s’arrête. Le PGCD est alors le dernier reste non nul, ici 10.

Conclusion

Le PGCD de \(20\) et \(30\) est donc 10.

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Remarque pédagogique : L’algorithme d’Euclide consiste à répéter des divisions euclidiennes en remplaçant à chaque étape les deux nombres par l’ancien diviseur et le reste jusqu’à obtenir un reste nul. La taille des nombres diminue rapidement, garantissant un calcul très efficace.