Exercice 23

Calculer le PPCM de 18 et 24.

Réponse

\(72\)

Corrigé détaillé

Introduction

Cette correction présente les étapes pour calculer le plus petit multiple commun (PPCM) de 18 et 24 en utilisant la décomposition en facteurs premiers, une méthode claire et systématique adaptée au niveau de la 9e HarmoS.

Étape 1 : décomposition en facteurs premiers

• Le nombre 18 se décompose en facteurs premiers : \(2 \times 3^2\).
• Le nombre 24 se décompose en facteurs premiers : \(2^3 \times 3\).

Étape 2 : retenir les plus grands exposants

On repère les facteurs premiers présents et on choisit le plus grand exposant pour chacun : - Pour le facteur premier 2 : exposant maximal = 3 - Pour le facteur premier 3 : exposant maximal = 2

Étape 3 : calcul du PPCM

Le PPCM est le produit des facteurs premiers élevés à ces exposants : \[ \mathrm{PPCM}(18,24) \,=\, 2^3 \times 3^2 \] Calculons : - \(2^3 = 8\) - \(3^2 = 9\) - Produit : \(8 \times 9 = 72\)

Conclusion

Le plus petit multiple commun de 18 et 24 est 72. Cela signifie que 72 est le plus petit entier divisible à la fois par 18 et par 24.