Exercice 17

Calculer le PPCM de 16 et 20.

Réponse

\(80\)

Corrigé détaillé

Définition du PPCM

Le plus petit commun multiple (PPCM) de deux nombres entiers est le plus petit entier positif qui est un multiple de chacun des nombres considérés.

1. Décomposition en facteurs premiers

Pour calculer le PPCM de 16 et 20, on commence par décomposer chaque nombre en produit de facteurs premiers :

• 16 = 2^4
• 20 = 2^2 \times 5

2. Sélection des exposants maximaux

Pour déterminer le PPCM, on prend, pour chaque facteur premier, l’exposant le plus élevé qui apparaît dans ces décompositions :

• Pour le facteur 2, les exposants sont 4 (dans 16) et 2 (dans 20). On choisit l’exposant maximal : 4.
• Pour le facteur 5, il n’apparaît que dans 20 avec l’exposant 1. On choisit donc l’exposant 1.

3. Calcul du PPCM

Le PPCM se calcule en multipliant ces facteurs premiers avec les exposants choisis :

\[ PPCM(16,20) = 2^4 \times 5^1 = 16 \times 5 = 80. \]

4. Vérification

• 80 : multiple de 16 car \(80 = 16 \times 5\).
• 80 : multiple de 20 car \(80 = 20 \times 4\).

C’est bien le plus petit entier positif vérifiant ces propriétés.

Ainsi, \(PPCM(16,20) = 80\).