Une piscine peut être remplie par trois robinets. Le premier remplit la piscine en 20 minutes, le deuxième en 30 minutes et le troisième en 45 minutes. Si les trois robinets sont ouverts en même temps à partir de la même heure, au bout de combien de temps se fermeront-ils tous ensemble pour la première fois, sachant que chaque robinet s’ouvre et se ferme selon son cycle propre ?
\(180\,\text{minutes}\)
On dispose de trois robinets qui ferment cycliquement : - Le premier robinet se ferme tous les 20 minutes. - Le deuxième se ferme tous les 30 minutes. - Le troisième se ferme tous les 45 minutes.
Comme ils sont ouverts simultanément à l’instant initial, ils se fermeront à nouveau ensemble au premier instant qui est un multiple commun de 20, 30 et 45. Pour trouver ce premier instant, on cherche le plus petit multiple commun (PPCM) de ces trois durées.
Le PPCM de plusieurs nombres entiers est le plus petit entier positif qui est un multiple de chacun de ces nombres.
20 se décompose en
\[20 = 2^2 \times 5\]
30 se décompose en
\[30 = 2 \times 3 \times 5\]
45 se décompose en
\[45 = 3^2 \times 5\]
Pour construire le PPCM, on prend chaque facteur premier au plus haut exposant qui apparaît dans les décompositions :
On obtient donc :
\[ \mathrm{PPCM}(20,30,45) = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180. \]
Les trois robinets se fermeront ensemble pour la première fois 180 minutes après leur ouverture, soit 3 heures.