Exercice 30

Calculer le PGCD et le PPCM de 84 et 120.

Réponse

\(\gcd(84,120)=12,\;\mathrm{ppcm}(84,120)=840\)

Corrigé détaillé

Contexte et objectifs

L’objectif est de déterminer le plus grand commun diviseur (PGCD) et le plus petit commun multiple (PPCM) de 84 et 120.

Définition du PGCD

Le PGCD de deux entiers est le plus grand entier qui divise simultanément ces deux nombres.

1. Calcul du PGCD par l’algorithme d’Euclide

On applique des divisions successives : à chaque étape, on divise le plus grand des deux nombres par le plus petit et on remplace le plus grand par le reste.

1. On divise 120 par 84 :
   • 120 ÷ 84 donne un quotient de 1 et un reste de 36.
2. On divise 84 par 36 :
   • 84 ÷ 36 donne un quotient de 2 et un reste de 12.
3. On divise 36 par 12 :
   • 36 ÷ 12 donne un quotient de 3 et un reste de 0.

Lorsque le reste devient zéro, le PGCD est le dernier reste non nul, soit 12.
\[\gcd(84,120)=12\]

2. Calcul du PPCM à l’aide de la relation fondamentale

Pour deux entiers a et b, on utilise la formule :
\[\text{PGCD}(a,b)\times\text{PPCM}(a,b)=a\times b\]

1. On calcule le produit des deux nombres : 84 × 120 = 10080.
   
2. On divise ce produit par le PGCD trouvé (12) : 10080 ÷ 12 = 840.

Ainsi on obtient
\[\mathrm{ppcm}(84,120)=840\]

Synthèse des résultats

• PGCD(84, 120) = 12
  
• PPCM(84, 120) = 840