Calculer le PGCD de 360 et 504 en utilisant l’algorithme d’Euclide.
\(72\)
Pour déterminer le plus grand commun diviseur (PGCD) de 360 et 504, on utilise l’algorithme d’Euclide, qui repose sur le principe suivant : si on divise un entier \(a\) par un entier \(b\), alors le PGCD de \(a\) et \(b\) est le même que celui de \(b\) et du reste \(r\) de la division de \(a\) par \(b\).
On divise 504 par 360 pour obtenir un quotient et un reste :
\[ 504 = 360 \times 1 + 144 \]
Le reste est 144. On remplace alors le plus grand nombre (504) par 360, et 360 par 144.
\[ 360 = 144 \times 2 + 72 \]
Le reste est 72. On continue en divisant 144 (l’ancien diviseur) par 72 (le nouveau reste).
\[ 144 = 72 \times 2 + 0 \]
Le reste est 0. Lorsque le reste devient zéro, l’algorithme s’arrête. Le PGCD est alors le dernier reste non nul, ici 72.
Le plus grand commun diviseur de 360 et 504 est 72.
On a donc :
\[ \gcd(360,504)=72 \]