Calculer le PGCD de 96 et 144.
\(48\)
Dans cet exercice, nous allons calculer le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux nombres entiers en utilisant la méthode d’Euclide. Cette méthode est très efficace et repose sur des divisions successives.
Le PGCD de deux entiers est le plus grand entier qui divise exactement les deux nombres, c’est-à-dire sans laisser de reste.
Pour trouver le PGCD de deux nombres \(a\) et \(b\) (avec \(a>b\)), on effectue une division euclidienne de \(a\) par \(b\) :
\[ a = b \times q + r \]
où \(q\) est le quotient et \(r\) le reste (avec \(0 \le r < b\)).
Le théorème d’Euclide nous dit que :
\[ \mathrm{PGCD}(a,b) = \mathrm{PGCD}(b,r). \]
On répète cette étape en remplaçant \(a\) par \(b\) et \(b\) par \(r\), jusqu’à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est alors le PGCD.
Comme \(144>96\), on commence par diviser 144 par 96 :
\[ 144 = 96 \times 1 + 48 \]
Le reste est \(48\). On prend maintenant \(a=96\) et \(b=48\).
On divise 96 par 48 :
\[ 96 = 48 \times 2 + 0 \]
Le reste est \(0\). D’après la méthode d’Euclide, le PGCD est le dernier reste non nul, ici \(48\).
Pour vérifier, on s’assure que 48 divise bien 96 et 144 : - \(96 = 48 \times 2\) - \(144 = 48 \times 3\)
Aucun nombre plus grand que 48 ne peut diviser à la fois 96 et 144 sans reste, donc le résultat est correct.
Le plus grand commun diviseur de 96 et 144 est 48.