Exercice 8

Calculer le PGCD de 36 et 48.

Réponse

\(12\)

Corrigé détaillé

Introduction

Le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux entiers naturels est le plus grand entier qui divise ces deux nombres sans laisser de reste.

1. Décomposition en facteurs premiers

• 36 = \(2^2 \times 3^2\)
  
• 48 = \(2^4 \times 3^1\)

2. Identification des facteurs communs

On repère les facteurs premiers communs et on choisit les plus petits exposants :
- Pour 2 : exposants 2 et 4, le plus petit est 2
- Pour 3 : exposants 2 et 1, le plus petit est 1

3. Calcul du PGCD

On multiplie ces facteurs premiers avec les exposants minimaux :
\[ \mathrm{pgcd}(36,48) = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12. \]

Conclusion

Ainsi, le PGCD de 36 et 48 est 12.