Exercice 29

On veut paver une salle rectangulaire de 252 cm de longueur et 180 cm de largeur avec des dalles carrées identiques les plus grandes possibles, sans découpe. Quelle doit être la dimension du côté de chaque dalle ? Combien de dalles faudra-t-il ?

Réponse

Le côté de chaque dalle est \(36\,\mathrm{cm}\) et il faut \(35\) dalles.

Corrigé détaillé

Énoncé

On veut paver une salle rectangulaire de longueur \(252\,\mathrm{cm}\) et de largeur \(180\,\mathrm{cm}\) avec des dalles carrées identiques les plus grandes possibles, sans découpe.

Recherche de la taille maximale de la dalle

Pour que les dalles recouvrent exactement la salle sans découpe, la longueur du côté de la dalle doit diviser à la fois \(252\) et \(180\). On recherche donc le plus grand diviseur commun (PGDC) de ces deux nombres.

Étape 1 : lister les diviseurs

• Diviseurs de \(252\) : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 12, 14, 18, 21, 28, 36, 42, 63, 84, 126, 252
  
• Diviseurs de \(180\) : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180

Étape 2 : sélectionner le plus grand commun

Les diviseurs communs sont : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Le plus grand de ces diviseurs est \(36\).

Ainsi, chaque dalle a pour côté \(36\,\mathrm{cm}\).

Calcul du nombre de dalles nécessaires

• Le quotient de \(252\) par \(36\) est \(7\).
  
• Le quotient de \(180\) par \(36\) est \(5\).
  
• Le produit \(7\times5\) est \(35\), correspondant au nombre total de dalles.

Conclusion

La dimension de la dalle est \(36\,\mathrm{cm}\) de côté et il faut \(35\) dalles pour paver la salle.