Exercice 16

Calculer le PGCD de 60 et 84.

Réponse

\(12\)

Corrigé détaillé

Correction détaillée du calcul du PGCD de 60 et 84

Définition

Le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux entiers est le plus grand entier qui divise chacun d’entre eux sans laisser de reste.

Méthode 1 : Liste des diviseurs

1. On détermine tous les diviseurs de \(60\) : \[ \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\}. \]
2. On détermine tous les diviseurs de \(84\) : \[ \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84\}. \]
3. On repère les diviseurs communs : \[ \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}. \]
4. Le plus grand de ces diviseurs communs est \(12\). Ainsi, le PGCD de \(60\) et \(84\) est \(12\).

Méthode 2 : Algorithme d’Euclide

1. On divise \(84\) par \(60\) : le quotient est \(1\) et le reste est \(24\).
   
2. On divise \(60\) par \(24\) : le quotient est \(2\) et le reste est \(12\).
   
3. On divise \(24\) par \(12\) : le quotient est \(2\) et le reste est \(0\).

Lorsque le reste devient \(0\), le dernier reste non nul, ici \(12\), est le PGCD.

Conclusion

Quelle que soit la méthode utilisée, on trouve que le PGCD de \(60\) et \(84\) est \(12\).
Cette valeur est le plus grand nombre entier qui divise simultanément \(60\) et \(84\) sans reste.