Exercice 32

Démontrer que pour deux nombres \(a\) et \(b\), on a : \(\text{PGCD}(a,b) \times \text{PPCM}(a,b) = a \times b\). Vérifier cette propriété avec \(a = 24\) et \(b = 36\).

Réponse

\[\gcd(24,36)\times\mathrm{lcm}(24,36)=12\times72=864=24\times36.\]

Corrigé détaillé

Définition des notions de PGCD et PPCM

Pour deux nombres entiers positifs \(a\) et \(b\) :

• Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de \(a\) et \(b\), noté \(\gcd(a,b)\), est le plus grand entier qui divise à la fois \(a\) et \(b\).
• Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) de \(a\) et \(b\), noté \(\mathrm{lcm}(a,b)\), est le plus petit entier multiple à la fois de \(a\) et \(b\).

Preuve générale par décomposition en facteurs premiers

1. Facteurs premiers de \(a\) et \(b\)

Écrivons \(a\) et \(b\) sous forme de produit de puissances de nombres premiers : \[ a = p_1^{\alpha_1}\times p_2^{\alpha_2}\times\cdots\times p_k^{\alpha_k}, \quad b = p_1^{\beta_1}\times p_2^{\beta_2}\times\cdots\times p_k^{\beta_k}, \] où les \(p_i\) sont les nombres premiers qui interviennent, et \(\alpha_i,\beta_i\) sont des entiers positifs ou nuls.

2. Expression du PGCD

Par définition, le PGCD prend pour chaque premier \(p_i\) la plus petite puissance commune : \[ \gcd(a,b) = p_1^{\min(\alpha_1,\beta_1)}\times p_2^{\min(\alpha_2,\beta_2)}\times\cdots\times p_k^{\min(\alpha_k,\beta_k)}. \]

3. Expression du PPCM

Par définition, le PPCM prend pour chaque premier \(p_i\) la plus grande puissance : \[ \mathrm{lcm}(a,b) = p_1^{\max(\alpha_1,\beta_1)}\times p_2^{\max(\alpha_2,\beta_2)}\times\cdots\times p_k^{\max(\alpha_k,\beta_k)}. \]

4. Produit \(\gcd(a,b)\times\mathrm{lcm}(a,b)\)

En multipliant ces deux expressions, on obtient pour chaque \(p_i\) : \[ p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}\times p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)} = p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i) + \max(\alpha_i,\beta_i)} = p_i^{\alpha_i + \beta_i}. \] Ainsi, \[ \gcd(a,b)\times\mathrm{lcm}(a,b) = \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i+\beta_i} = \Bigl(\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}\Bigr)\times\Bigl(\prod_{i=1}^k p_i^{\beta_i}\Bigr) = a\times b. \]

Vérification numérique pour \(a=24\) et \(b=36\)

1. Décomposition en facteurs premiers : \[ 24 = 2^3\times3^1, \quad 36 = 2^2\times3^2. \] 2. Calcul du PGCD : \[ \gcd(24,36) = 2^{\min(3,2)}\times3^{\min(1,2)} = 2^2\times3^1 = 4\times3 = 12. \] 3. Calcul du PPCM : \[ \mathrm{lcm}(24,36) = 2^{\max(3,2)}\times3^{\max(1,2)} = 2^3\times3^2 = 8\times9 = 72. \] 4. Produit des deux résultats : \[ 12\times72 = 864 \quad\text{et}\quad 24\times36 = 864. \]

On constate que \[ \gcd(24,36)\times\mathrm{lcm}(24,36) = 24\times36, \] ce qui confirme la propriété voulue.