Calculer le PGCD de 15 et 25.
\(5\)
Le PGCD (ou plus grand commun diviseur) de deux entiers naturels \(a\) et \(b\) est le plus grand entier qui divise à la fois \(a\) et \(b\).
Un entier \(d\) est un diviseur de 15 si et seulement si \(15 \div d\) est un nombre entier. Les diviseurs de 15 sont :
\[ \{1,\;3,\;5,\;15\} \]
De la même façon, les diviseurs de 25 sont :
\[ \{1,\;5,\;25\} \]
On cherche les nombres qui apparaissent dans les deux listes :
\[ \{1,\;3,\;5,\;15\} \;\cap\; \{1,\;5,\;25\} = \{1,\;5\} \]
Parmi les diviseurs communs \(1\) et \(5\), le plus grand est \(5\).
On en déduit que :
\[ \mathrm{PGCD}(15,25)=5 \]
Ainsi, le plus grand entier qui divise à la fois 15 et 25 est 5.