Un agriculteur possède 168 pommes et 252 poires. Il veut les répartir en caisses identiques contenant le même nombre de fruits de chaque sorte, en utilisant tous les fruits. Quel est le nombre maximum de caisses qu’il peut préparer ? Combien de pommes et de poires chaque caisse contiendra-t-elle ?
Nombre de caisses : \(84\). Pommes par caisse : \(2\). Poires par caisse : \(3\).
Nous voulons répartir 168 pommes et 252 poires en caisses identiques, en utilisant tous les fruits et en ayant le même nombre de pommes et de poires dans chaque caisse.
Chaque caisse doit contenir un nombre fixe de pommes et un nombre fixe de poires, et on utilise la totalité des fruits. Le nombre de caisses doit diviser à la fois 168 et 252. Pour maximiser ce nombre, on cherche le plus grand entier qui divise simultanément 168 et 252 : c’est le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur).
On utilise l’algorithme d’Euclide pour calculer le PGCD de 168 et 252.
On divise 252 par 168 :
\[ 252 = 168 \times 1 + 84 \]
On divise 168 par 84 :
\[ 168 = 84 \times 2 + 0 \]
Lorsque le reste devient 0, le PGCD est le dernier reste non nul, ici 84.
Nombre de caisses = PGCD = 84.
Pommes par caisse :
\[ 168 \div 84 = 2 \]
Poires par caisse :
\[ 252 \div 84 = 3 \]
L’agriculteur peut préparer \(84\) caisses, chacune contenant \(2\) pommes et \(3\) poires.