Exercice 12

Deux nombres ont pour PPCM 60. Le premier est 12. Donner trois valeurs possibles pour le second nombre.

Réponse

\(5, 10, 15\)

Corrigé détaillé

Analyse de l’énoncé

L’énoncé nous indique deux nombres dont le PPCM vaut \(60\) et dont le premier nombre est \(12\). Nous cherchons un second nombre \(b\) tel que :

\[ \mathrm{ppcm}(12,b)=60. \]

Rappel sur le lien entre PGCD et PPCM

Pour deux entiers positifs \(a\) et \(b\), on a la relation :

\[ a \times b = \mathrm{pgcd}(a,b) \times \mathrm{ppcm}(a,b). \]

Recherche du second nombre

1. On applique la formule à \(a=12\) et \(b=b\) : \[ 12 \times b = \mathrm{pgcd}(12,b) \times 60. \]
2. On note \(d=\mathrm{pgcd}(12,b)\). Alors : \[ 12 \times b = d \times 60 \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{d \times 60}{12} = 5d. \]
3. Comme \(d=\mathrm{pgcd}(12,b)\) divise \(12\), les valeurs possibles pour \(d\) sont les diviseurs de \(12\) : \[ d \in \{1,2,3,4,6,12\}. \]
4. On en déduit les valeurs possibles pour \(b\) : \[ b = 5d \in \{5,10,15,20,30,60\}. \]

Conclusion

Trois exemples de valeurs possibles pour le second nombre sont : \(5,\;10,\;15\).