Exercice 21

Un carreleur dispose de 120 carreaux blancs et 180 carreaux noirs. Il veut réaliser le plus grand nombre possible de motifs identiques en utilisant tous les carreaux. Combien de motifs peut-il réaliser ? Combien de carreaux de chaque couleur y aura-t-il dans chaque motif ?

Réponse

Il peut réaliser \(60\) motifs, chacun comprenant \(2\) carreaux blancs et \(3\) carreaux noirs.

Corrigé détaillé

Prise en compte des données

Nous disposons de : - 120 carreaux blancs - 180 carreaux noirs

Le carreleur souhaite constituer le plus grand nombre possible de motifs identiques tout en utilisant tous les carreaux.

1. Traduction mathématique du problème

Pour réaliser des motifs identiques, on doit distribuer les carreaux blancs de façon égale dans chaque motif et de même pour les carreaux noirs.

Le nombre maximal de motifs correspond donc au plus grand nombre qui divise simultanément 120 et 180. Ce nombre est le plus grand commun diviseur (PGCD) de 120 et 180.

2. Calcul du PGCD par décomposition en facteurs premiers

1. Décomposons 120 et 180 en facteurs premiers : \[ 120 = 2^3 \times 3 \times 5 \] \[ 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \]

2. Identifions les facteurs communs avec l’exposant le plus petit :

   • Puissance de 2 commune : \(2^2\)
   • Puissance de 3 commune : \(3^1\)
   • Puissance de 5 commune : \(5^1\)

3. Multiplions ces facteurs : \[ \text{PGCD}(120,180) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60 \]

3. Détermination du nombre de motifs

Le carreleur peut donc réaliser 60 motifs identiques.

4. Calcul du nombre de carreaux par motif

Pour chaque motif, on répartit les carreaux blancs et noirs de façon équitable : - Carreaux blancs par motif : \[ \frac{120}{60} = 2 \] - Carreaux noirs par motif : \[ \frac{180}{60} = 3 \]

5. Conclusion

Le nombre maximal de motifs est 60.
Chaque motif comporte 2 carreaux blancs et 3 carreaux noirs.