Exercice 9

Calculer le PPCM de 10 et 15.

Réponse

\(30\)

Corrigé détaillé

Définition du PPCM

Le plus petit multiple commun (PPCM) de deux nombres entiers est le plus petit nombre non nul qui est un multiple des deux.

1. Méthode par la liste des premiers multiples

1. On énumère quelques multiples de 10 :
   • 10, 20, 30, 40, 50, …
2. On énumère quelques multiples de 15 :
   • 15, 30, 45, 60, …
3. Le premier multiple qui apparaît dans les deux listes est 30.
   • Donc \(\mathrm{PPCM}(10,15)=30\).

2. Méthode par la décomposition en facteurs premiers

1. On décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers :
   • \(10 = 2 \times 5\)
   • \(15 = 3 \times 5\)
2. On prend chaque facteur premier avec la plus grande puissance rencontrée :
   • Facteur 2 : puissance la plus élevée = \(2^1\)
   • Facteur 3 : puissance la plus élevée = \(3^1\)
   • Facteur 5 : puissance la plus élevée = \(5^1\)
3. On multiplie ces choix pour obtenir le PPCM : \[ \mathrm{PPCM}(10,15) = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 2 \times 3 \times 5 = 30 \]

3. Vérification

• 10 × 3 = 30, donc 30 est bien un multiple de 10.
  
• 15 × 2 = 30, donc 30 est bien un multiple de 15.

Conclusion

Le plus petit multiple commun de 10 et 15 est \(30\).