Exercice 14

Calculer le PPCM de 14 et 21.

Réponse

\(42\)

Corrigé détaillé

Définition du PPCM

Le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) de deux nombres entiers est le plus petit nombre non nul qui est un multiple des deux nombres.

Étape 1 : Décomposition en facteurs premiers

Nous décomposons chaque nombre en produit de facteurs premiers.

• \(14 = 2 \times 7\)
• \(21 = 3 \times 7\)

Étape 2 : Sélection des facteurs premiers

Pour obtenir le PPCM, on prend chaque facteur premier présent dans l’une ou l’autre des décompositions, avec l’exposant le plus grand.

• Facteur 2 : présent uniquement dans 14 avec l’exposant 1.
• Facteur 3 : présent uniquement dans 21 avec l’exposant 1.
• Facteur 7 : présent dans les deux nombres avec l’exposant 1.

Ainsi, le PPCM est

\[ 2^1 \times 3^1 \times 7^1 = 2 \times 3 \times 7 = 42. \]

Vérification

• \(42 \div 14 = 3\), donc 42 est multiple de 14.
• \(42 \div 21 = 2\), donc 42 est multiple de 21.

Le plus petit commun multiple de 14 et 21 est donc 42.