Calculer le périmètre et l’aire d’un hexagone régulier de côté 5 cm. (Indice : diviser l’hexagone en 6 triangles équilatéraux)
[ P = 30,,A = ,^2]
On cherche à déterminer le périmètre et l’aire d’un hexagone régulier dont chaque côté mesure 5 cm.
Un hexagone régulier possède 6 côtés égaux. Si chaque côté vaut 5 cm, le périmètre P est :
\[ P = 6 \times 5 = 30\,\text{cm}. \]
Pour trouver l’aire de l’hexagone, on le découpe en 6 triangles équilatéraux de même côté.
Un hexagone régulier se compose de six triangles équilatéraux de côté 5 cm.
Dans un triangle équilatéral de côté 5 cm, on utilise la propriété géométrique de la hauteur :
\[ ext{hauteur }h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 5 = \frac{5\sqrt{3}}{2}\,\text{cm}. \]
L’aire d’un triangle se calcule par : base × hauteur ÷ 2. Ici :
\[ A_{\triangle} = \frac{5 \times \frac{5\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{4}\,\text{cm}^2. \]
L’hexagone contient 6 de ces triangles, donc son aire A est :
\[ A = 6 \times \frac{25\sqrt{3}}{4} = \frac{150\sqrt{3}}{4} = \frac{75\sqrt{3}}{2}\,\text{cm}^2. \]