Un rectangle a une longueur de \(3x\) cm et une largeur de \(2x\) cm. Son aire est de 150 cm². Déterminer \(x\) puis les dimensions du rectangle et son périmètre.
\[x = 5,\quad L = 3x = 15\,\text{cm},\quad l = 2x = 10\,\text{cm},\quad P = 2(L + l) = 50\,\text{cm}.\]
On a un rectangle de longueur égale à trois fois un nombre x (en cm) et de largeur égale à deux fois ce même nombre. Son aire vaut 150 cm². Il faut :
Pour tout rectangle de longueur \(L\) et de largeur \(l\), l’aire \(A\) s’écrit :
\[ A = L \times l. \]
Ici, \(L = 3x\) et \(l = 2x\), donc :
\[ A = (3x) \times (2x) = 6x^2. \]
On sait que cette aire vaut 150 cm², donc on obtient l’égalité :
\[ 6x^2 = 150. \]
Diviser par 6 les deux nombres pour isoler le terme en « x² » : \[ x^2 = \frac{150}{6} = 25. \]
Chercher le nombre dont le carré est 25. On remarque que \(5 \times 5 = 25\). On retient donc :
\[ x = 5. \]
(On écarte \(x = -5\) car les dimensions d’un rectangle sont positives.)
Le périmètre \(P\) d’un rectangle s’obtient par :
\[ P = 2\,(L + l). \]
Ici :
\[ P = 2\,(15 + 10) = 2 \times 25 = 50\,\text{cm}. \]
Fin de la correction.