Exercice 16

Un triangle rectangle a des côtés perpendiculaires de 9 cm et 12 cm. Calculer son aire et son périmètre.

Réponse

\(\text{Aire} = 54\ \mathrm{cm}^2,\quad P = 36\ \mathrm{cm}\)

Corrigé détaillé

Compréhension de l’énoncé

L’énoncé nous donne un triangle rectangle dont les deux côtés perpendiculaires mesurent 9 cm et 12 cm. On doit calculer :

• son aire, c’est-à-dire la surface à l’intérieur du triangle ;
• son périmètre, c’est-à-dire la somme de la longueur de ses trois côtés.

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Calcul de l’aire

Pour tout triangle rectangle, on peut considérer l’un des côtés perpendiculaires comme « base » et l’autre comme « hauteur ». L’aire s’obtient par la formule :

\[ \text{Aire} = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} \]

Ici, base = 9 cm et hauteur = 12 cm. On remplace :

\[ \text{Aire} = \frac{9 \times 12}{2} = \frac{108}{2} = 54\ \mathrm{cm}^2 \]

Donc, l’aire est de 54 cm².

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Détermination de la longueur de l’hypoténuse

Le théorème de Pythagore dit que, dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. On remarque ici que 9 et 12 sont les côtés d’un triangle semblable à un triangle 3-4-5, multiplié par 3 : 3×3 = 9 et 4×3 = 12. Dans un triangle 3-4-5, l’hypoténuse vaut 5 unités. En multipliant par 3, on obtient 5×3 = 15.

Ainsi, l’hypoténuse mesure 15 cm.

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Calcul du périmètre

Le périmètre P est la somme des trois côtés :

\[ P = 9 + 12 + 15 = 36\ \mathrm{cm} \]

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Conclusion

• Aire : 54 cm²
• Périmètre : 36 cm

Les étapes clés ont été : 1. Utiliser la formule de l’aire pour un triangle rectangle.
2. Reconnaître un triangle 3-4-5 multiplié par 3 pour trouver l’hypoténuse.
3. Additionner les trois longueurs pour obtenir le périmètre.