Un triangle rectangle isocèle a une hypoténuse de 12 cm. Calculer son aire.
\(36\ \mathrm{cm}^2\)
On cherche l’aire d’un triangle rectangle isocèle dont l’hypoténuse mesure 12 cm.
Dans un carré, l’aire est le produit d’un côté par lui-même. Si on trace sa diagonale, le carré se décompose en deux triangles rectangles isocèles de même aire.
Pour un carré dont la diagonale a pour longueur \(d\), on montre que l’aire du carré vaut la moitié de \(d^2\) :
\[ \text{Aire du carré} = \frac{d^2}{2}. \]
Chaque triangle formé par la diagonale a donc pour aire la moitié de celle du carré. On obtient :
\[ \text{Aire du triangle} = \frac{1}{2} \times \text{Aire du carré} = \frac{1}{2} \times \frac{d^2}{2} = \frac{d^2}{4}. \]
Pour \(d = 12\) cm, l’aire du triangle est :
\[ \frac{12^2}{4} = \frac{144}{4} = 36. \]
L’aire du triangle rectangle isocèle est de 36 cm².