Un triangle équilatéral a un périmètre de 45 cm. Calculer son aire. (Indice : utiliser la formule de la hauteur \(h = \frac{c\sqrt{3}}{2}\) où \(c\) est le côté)
\[\mathcal{A} = \frac{225\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2 \approx 97{,}4\ \mathrm{cm}^2\]
Un triangle équilatéral a un périmètre de 45 cm. Calculer son aire en utilisant la formule de la hauteur
Le périmètre d’un triangle équilatéral se répartit en trois côtés
égaux. Ainsi, si on note chaque côté \(c\) : \[
3c = 45\ \mathrm{cm}
\] On divise par 3 pour trouver :
\[
c = \frac{45}{3} = 15\ \mathrm{cm}
\]
Tous les côtés d’un triangle équilatéral mesurent la même longueur.
Pour un triangle équilatéral de côté \(c\), la hauteur \(h\) satisfait : \[ h = \frac{c\sqrt{3}}{2} \] On remplace \(c = 15\) : \[ h = \frac{15\sqrt{3}}{2} \]
L’aire d’un triangle se calcule par la formule : \[ \mathcal{A} = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} \] Ici, la base vaut \(c = 15\) cm et la hauteur vaut \(h = \tfrac{15\sqrt{3}}{2}\) cm. On obtient : \[ \mathcal{A} = \frac{15 \times \bigl(\tfrac{15\sqrt{3}}{2}\bigr)}{2} = \frac{225\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2 \]
Conclusion pédagogique 1. On détermine d’abord la
longueur du côté à partir du périmètre.
2. On applique la formule de la hauteur spécifique au triangle
équilatéral.
3. On utilise la formule classique de l’aire d’un triangle.
Chaque étape s’appuie sur un principe géométrique fondamental et permet
de construire la démarche de calcul.