Le nombre 121 est-il premier ? Justifier.
Non, \(121=11\times 11\).
Un nombre premier est un entier naturel supérieur à 1 qui n’admet que deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.
Pour savoir si un nombre comme 121 est premier, on cherche s’il existe un entier d (autre que 1 et 121) tel que 121 soit divisible par d. Il suffit de tester les diviseurs jusqu’à la valeur de la racine carrée du nombre, car si 121 avait un diviseur plus grand, il en aurait aussi un plus petit que cette racine.
Un nombre pair se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8. 121 se termine par 1, donc n’est pas divisible par 2.
On additionne les chiffres : 1 + 2 + 1 = 4. Comme 4 n’est pas un multiple de 3, 121 n’est pas divisible par 3.
Un nombre divisible par 5 se termine par 0 ou 5. 121 se termine par 1, donc pas de divisibilité par 5.
Il n’existe pas de règle simple comme pour 2, 3 ou 5, mais on peut effectuer la division euclidienne : \[ 121 \div 7 = 17 \text{ reste } 2 \] Le reste n’est pas zéro, donc 121 n’est pas divisible par 7.
On fait la division : \[ 121 \div 11 = 11 \text{ exactement} \] Le reste est zéro. On a trouvé un diviseur d = 11, différent de 1 et de 121.
Puisque 121 admet un diviseur supplémentaire (11), il n’est pas premier. On constate même que : \[ 121 = 11 \times 11 \] Ce qui prouve immédiatement qu’il n’a pas seulement 1 et lui-même comme diviseurs.