Exercice 2

Le nombre 9 est-il premier ? Justifier.

Réponse

Non, 9 n’est pas premier car \(9 = 3 \times 3\).

Corrigé détaillé

Définition d’un nombre premier

Un nombre premier est un entier naturel strictement supérieur à 1 qui n’admet que deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.

Vérification pour 9

Étape 1 : Lister les diviseurs possibles

Pour savoir si 9 est premier, on cherche tous les nombres entiers positifs qui divisent 9 sans reste. Les candidats sont : - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9

Étape 2 : Tester la divisibilité

• 9 ÷ 1 = 9, reste 0 ⇒ 1 est un diviseur de 9.
• 9 ÷ 2 donne un reste non nul ⇒ 2 n’est pas un diviseur.
• 9 ÷ 3 = 3, reste 0 ⇒ 3 est un diviseur de 9.
• Pour les autres nombres (4, 5, 6, 7, 8), la division par 9 laisse un reste non nul ⇒ ils ne sont pas diviseurs.
• 9 ÷ 9 = 1, reste 0 ⇒ 9 est un diviseur de lui-même.

Étape 3 : Conclure

Les diviseurs positifs de 9 sont donc :

\[1,\;3,\;9\]

On en compte trois : 1, 3 et 9. Or un nombre premier n’en doit avoir que deux (1 et lui-même). Ici, 9 possède un diviseur supplémentaire (3), différent de 1 et de 9.

Conclusion : 9 n’est pas un nombre premier car il admet trois diviseurs positifs au lieu de deux.