Exercice 4
Le nombre 17 est-il premier ?
Réponse
Oui, \(17\) est un nombre
premier.
Corrigé détaillé
Introduction
Dans cet exercice, nous allons déterminer si le nombre 17 est un
nombre premier.
Définition d’un nombre
premier
Un entier \(n\) strictement
supérieur à 1 est dit premier si, parmi les entiers
positifs, ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même.
Méthode de vérification
Pour vérifier qu’un entier \(n\) est
premier, on peut tester toutes les divisions euclidiennes par les
entiers \(d\) allant de 2 jusqu’à \(\tfrac{n}{2}\). Si aucun de ces entiers
\(d\) ne divise exactement \(n\), alors \(n\) est premier.
Vérification pour \(n = 17\)
Nous allons tester les entiers \(d = 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8\) :
- Pour \(d = 2\) : la division de 17
par 2 donne un reste non nul (1). Donc 2 n’est pas un diviseur de
17.
- Pour \(d = 3\) : la division de 17
par 3 donne un reste non nul (2). Donc 3 n’est pas un diviseur de
17.
- Pour \(d = 4\) : la division de 17
par 4 donne un reste non nul (1). Donc 4 n’est pas un diviseur de
17.
- Pour \(d = 5\) : la division de 17
par 5 donne un reste non nul (2). Donc 5 n’est pas un diviseur de
17.
- Pour \(d = 6\) : la division de 17
par 6 donne un reste non nul (5). Donc 6 n’est pas un diviseur de
17.
- Pour \(d = 7\) : la division de 17
par 7 donne un reste non nul (3). Donc 7 n’est pas un diviseur de
17.
- Pour \(d = 8\) : la division de 17
par 8 donne un reste non nul (1). Donc 8 n’est pas un diviseur de
17.
Aucun entier \(d\) avec \(2 \le d \le 8\) ne divise exactement
17.
Conclusion
Le seul diviseur de 17 parmi les entiers positifs est 1 et lui-même.
Par conséquent, 17 est un nombre premier.