Un nombre s’écrit \(2^a \times 3^b \times 5^c\). Sachant qu’il admet exactement 12 diviseurs et qu’il est inférieur à 100, déterminer ce nombre. (Indice : le nombre de diviseurs de \(p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \ldots \times p_k^{a_k}\) est \((a_1+1)(a_2+1) \ldots (a_k+1)\).)
\(\{60,\,72,\,90,\,96\}\)
On cherche un entier naturel de la forme
\[ 2^a\times3^b\times5^c \]
qui admet exactement 12 diviseurs et qui est strictement inférieur à
100.
Rappel : si
\[ N=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times\cdots\times p_k^{a_k}, \]
alors le nombre de diviseurs de \(N\) est
\[ (a_1+1)\,(a_2+1)\cdots(a_k+1). \]
Ici \(p_1=2\), \(p_2=3\), \(p_3=5\), et on veut
\[ (a+1)\,(b+1)\,(c+1)=12 \]
avec \(a,b,c\ge0\) et
\[ 2^a\times3^b\times5^c<100. \]
Nous devons décomposer 12 en produit de trois entiers positifs
:
12 peut s’écrire comme :
Pour chacun, on en déduit un triplet \((a+1,b+1,c+1)\), donc \((a,b,c)\).
(a+1,b+1,c+1) = (12,1,1) ⇒ (a,b,c) = (11,0,0)
Nombre : \(2^{11}=2048>100\) → rejeté.
(a+1,b+1,c+1) = (6,2,1) ⇒ (a,b,c) = (5,1,0)
Nombre : \(2^5\times3^1=32\times3=96<100\). On retient 96.
(a+1,b+1,c+1) = (4,3,1) ⇒ (a,b,c) = (3,2,0)
Nombre : \(2^3\times3^2=8\times9=72<100\). On retient 72.
(a+1,b+1,c+1) = (3,2,2) ⇒ (a,b,c) = (2,1,1)
Nombre : \(2^2\times3^1\times5^1=4\times3\times5=60<100\). On retient 60.
Certains cas sont des permutations des précédents et donnent soit 108 ou 150 ou 90. Parmi eux seul
Les autres permutations produisent des nombres ≥ 100 ou déjà listés.
Les entiers de la forme \(2^a3^b5^c<100\) ayant exactement 12 diviseurs sont :
\[ 60, \;72, \;90, \;96. \]
Ainsi, les solutions recherchées sont : 60, 72, 90 et 96.