Exercice 17
Décomposer 60 en produit de facteurs premiers.
Réponse
\(60 = 2^2 \times 3 \times 5\)
Corrigé détaillé
Énoncé de l’exercice
On souhaite décomposer le nombre 60 en produit de facteurs
premiers.
Rappel
Un nombre premier est un entier strictement supérieur à 1
qui n’a aucun diviseur autre que 1 et lui-même.
Méthode
: divisions successives par les plus petits nombres premiers
- Choisir le plus petit nombre premier, ici 2.
- Diviser le nombre par ce premier tant que le
quotient est un entier.
- Passer au nombre premier suivant (3, 5, 7, …)
lorsque la division précédente n’est plus possible.
Déroulement détaillé
Étape 1 : tester la
divisibilité par 2
- On calcule \(60 \div 2 = 30\).
Comme le résultat est un entier, on retient le facteur 2.
- On remplace 60 par 30 pour continuer la décomposition.
Étape 2 : recommencer avec 30
- On calcule \(30 \div 2 = 15\). Le
quotient est encore un entier, donc on retient un second facteur 2.
- On remplace 30 par 15.
Étape 3 : tester encore 2
- On calcule \(15 \div 2 = 7{,}5\).
Ce n’est pas un entier, donc 2 n’est plus un diviseur de 15.
Étape 4 : passer au
nombre premier suivant, 3
- On calcule \(15 \div 3 = 5\). Le
quotient est un entier, on retient le facteur 3.
- On remplace 15 par 5.
Étape 5 : tester 3 à nouveau
sur 5
- On calcule \(5 \div 3 \approx
1{,}67\). Ce n’est pas un entier, on passe au nombre premier
suivant, 5.
Étape 6 : tester la
divisibilité par 5
- On calcule \(5 \div 5 = 1\). Comme
le quotient est 1, la décomposition est terminée et 5 est un facteur
premier.
Résultat final
En rassemblant tous les facteurs premiers obtenus, on a :
\[
60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5
\]