Exercice 6

Le nombre 21 est-il premier ? Justifier.

Réponse

Non, \(21\) n’est pas premier.

Corrigé détaillé

Énoncé

On demande de déterminer si le nombre \(21\) est un nombre premier, c’est-à-dire s’il n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même.

Définition

Un nombre premier est un entier naturel strictement supérieur à 1 qui admet exactement deux diviseurs entiers : 1 et lui-même. Si on trouve un autre diviseur, le nombre n’est pas premier (on l’appelle nombre composé).

Méthode de vérification

Pour montrer que \(21\) n’est pas premier, il suffit de trouver un entier \(d\) tel que : \[ 1 < d < 21 \] et \[ d \;\text{divise}\; 21. \]

1) Tester la divisibilité par 2

• Un nombre pair est divisible par 2. 
• \(21\) est impair, donc il n’est pas divisible par 2.

2) Tester la divisibilité par 3

• On sait que si la somme des chiffres d’un nombre est divisible par 3, alors le nombre l’est aussi. 
• La somme des chiffres de \(21\) est \(2 + 1 = 3\), et \(3\) est divisible par 3.
  
• On peut aussi effectuer la division euclidienne : \[ 21 \div 3 = 7 \quad\text{avec reste }0. \]
• Le reste est 0, donc \(3\) divise \(21\).

3) Conclusion

Nous avons trouvé un diviseur \(d = 3\) tel que : \[ 1 < 3 < 21 \] et \[ 3 \;\text{divise}\; 21. \] Donc \(21\) admet au moins trois diviseurs : 1, 3 et 21. Par conséquent, \(21\) n’est pas un nombre premier mais un nombre composé.
On peut même factoriser : \[ 21 = 3 \times 7. \]