Exercice 33

Décomposer 300 en produit de facteurs premiers.

Réponse

\[300 = 2^2 \times 3 \times 5^2\]

Corrigé détaillé

Présentation

L’objectif est de décomposer le nombre 300 en un produit de nombres premiers. Cette opération s’appuie sur le théorème fondamental de l’arithmétique, qui garantit que tout entier supérieur à 1 se décompose de manière unique en facteurs premiers.

Rappels et critères de divisibilité

• Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui n’admet que 1 et lui-même comme diviseurs.
• Pour tester la divisibilité d’un entier par un nombre premier, on utilise des critères de divisibilité :
  • Par 2 si le dernier chiffre est pair (0, 2, 4, 6, 8).
  • Par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
  • Par 5 si le dernier chiffre est 0 ou 5.

Étapes de la décomposition

Étape 1 : diviser par 2

• Le nombre 300 s’achève par 0, il est donc divisible par 2.
• On calcule \(300 \div 2 = 150\).
• On écrit alors \[ 300 = 2 \times 150. \]

Étape 2 : recommencer avec le quotient

• Le quotient 150 se termine par 0, il est encore divisible par 2.
• On calcule \(150 \div 2 = 75\).
• On obtient \[ 300 = 2 \times 2 \times 75 = 2^2 \times 75. \]

Étape 3 : diviser par 3

• Le nombre 75 a pour somme de chiffres \(7 + 5 = 12\), multiple de 3, donc 75 est divisible par 3.
• On calcule \(75 \div 3 = 25\).
• On complète la décomposition : \[ 300 = 2^2 \times 3 \times 25. \]

Étape 4 : diviser par 5

• Le nombre 25 se termine par 5, il est divisible par 5.
• On calcule \(25 \div 5 = 5\).
• On poursuit la décomposition : \[ 300 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5^2. \]

Conclusion

La décomposition en nombres premiers de 300 est donc \[ 300 = 2^2 \times 3 \times 5^2. \]

Tous les facteurs obtenus (2, 3 et 5) sont des nombres premiers, et cette écriture est unique selon le théorème fondamental de l’arithmétique.