Exercice 23

Écrire la décomposition en facteurs premiers de 120.

Réponse

\(2^3 \times 3 \times 5\)

Corrigé détaillé

Correction détaillée de la décomposition en facteurs premiers de 120

Principe de base

Selon le théorème fondamental de l’arithmétique, tout entier naturel strictement supérieur à 1 peut se décomposer de façon unique (à l’ordre des facteurs près) en produit de nombres premiers.

Étape 1 : Identifier le plus petit nombre premier diviseur

Le plus petit nombre premier est 2. On vérifie si 120 est divisible par 2 :

• 120 est pair, donc divisible par 2.

On écrit la première décomposition :

\[120 = 2 \times 60\]

Étape 2 : Poursuivre la division par 2

On regarde maintenant le quotient 60 :

• 60 est encore pair, donc divisible par 2.

On décompose :

\[60 = 2 \times 30\]

Ce qui nous donne :

\[120 = 2 \times 2 \times 30\]

On répète pour 30 :

• 30 est pair, donc divisible par 2.

\[30 = 2 \times 15\]

D’où :

\[120 = 2 \times 2 \times 2 \times 15\]

Étape 3 : Continuer avec le prochain nombre premier

Le quotient est maintenant 15. Le plus petit nombre premier possible après 2 est 3.

• 15 est divisible par 3 car la somme de ses chiffres (1 + 5 = 6) est un multiple de 3.

On décompose :

\[15 = 3 \times 5\]

Étape 4 : Vérification finale

Le quotient final est 5, qui est lui-même un nombre premier. On a donc achevé la décomposition.

En regroupant tous les facteurs premiers, on obtient :

\[120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3 \times 5.\]

Conclusion

La décomposition en facteurs premiers de 120 est

\[120 = 2^3 \times 3 \times 5.\]

Chaque étape consiste à diviser par le plus petit nombre premier possible jusqu’à obtenir uniquement des nombres premiers. Cette démarche garantit l’unicité de la décomposition selon le théorème fondamental de l’arithmétique.