Exercice 29

Décomposer 200 en produit de facteurs premiers.

Réponse

\(200 = 2^3 \times 5^2\)

Corrigé détaillé

Présentation de l’exercice

Dans cet exercice, il s’agit de décomposer le nombre 200 en un produit de facteurs premiers.

Qu’est-ce qu’un nombre premier ?

Un nombre premier est un nombre entier strictement supérieur à 1 qui n’a que deux diviseurs : lui-même et 1. Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, …

Méthode de la décomposition en facteurs premiers

On utilise la méthode de la division successive par les plus petits nombres premiers possibles, en commençant par 2, puis 3, puis 5, et ainsi de suite.

Application à 200

Étape 1 : division par 2

200 est pair, donc divisible par 2.
On calcule \(200 ÷ 2 = 100\).
On note le facteur 2.

Étape 2 : division du quotient par 2

Le nouveau nombre est 100, toujours pair.
On calcule \(100 ÷ 2 = 50\).
On note un deuxième facteur 2.

Étape 3 : division de 50 par 2

50 est encore pair.
On calcule \(50 ÷ 2 = 25\).
On note un troisième facteur 2.

Étape 4 : recherche du facteur suivant

Le quotient est maintenant 25, qui n’est plus divisible par 2.
On passe au nombre premier suivant, 3 : 25 n’est pas divisible par 3.
On essaie ensuite 5 : \(25 ÷ 5 = 5\).
On note le facteur 5.

Étape 5 : division de 5 par 5

Le quotient est 5, qui est divisible par 5.
On calcule \(5 ÷ 5 = 1\).
On note un deuxième facteur 5.

À présent, le quotient est 1, ce qui signifie que la décomposition est terminée.

Résultat final

On a trouvé les facteurs premiers suivants :

Trois fois 2,
Deux fois 5.

On peut donc écrire :

\[ 200 = 2^3 \times 5^2 \]

Vérification

Calcul du produit : \[ 2^3 \times 5^2 = 8 \times 25 = 200 \]

La décomposition est correcte et complète pour un élève de 9e HarmoS.

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