Exercice 13

Décomposer 36 en produit de facteurs premiers.

Réponse

\[36 = 2^2 \times 3^2\]

Corrigé détaillé

Introduction

La décomposition en facteurs premiers consiste à exprimer un entier comme un produit de nombres premiers. Selon le théorème fondamental de l’arithmétique, tout entier supérieur à 1 admet une décomposition unique (à l’ordre des facteurs près) en nombres premiers.

Étape 1 : Diviser par le plus petit nombre premier (2)

1. On commence par vérifier si 36 est divisible par 2 (le plus petit nombre premier).
   \[ 36 \div 2 = 18 \]
2. Comme 18 est encore pair, on divise à nouveau par 2 :
   \[ 18 \div 2 = 9 \]
3. Le résultat, 9, n’est plus divisible par 2 (car 9 est impair).

Étape 2 : Passer au nombre premier suivant (3)

1. On teste la divisibilité de 9 par 3 :
   \[ 9 \div 3 = 3 \]
2. On recommence, car 3 est encore divisible par 3 :
   \[ 3 \div 3 = 1 \]
3. Le quotient est maintenant 1, ce qui signifie qu’on a épuisé tous les facteurs premiers.

Étape 3 : Rédiger la décomposition

Tous les nombres premiers utilisés sont : 2, 2, 3 et 3. On peut donc écrire :
\[ 36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \]

Étape 4 : Regrouper les facteurs identiques

Pour simplifier l’écriture, on regroupe les mêmes facteurs à l’aide des puissances :
\[ 2 \times 2 = 2^2 \] \[ 3 \times 3 = 3^2 \]

Ainsi, on obtient la décomposition finale :
\[ 36 = 2^2 \times 3^2 \]

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Conclusion pédagogique : - La décomposition en facteurs premiers permet d’analyser la structure d’un nombre.
- On commence toujours par diviser par les plus petits nombres premiers successifs (2, puis 3, puis 5, etc.).
- Le théorème fondamental de l’arithmétique garantit l’unicité de cette décomposition.

Cette méthode est utile pour simplifier les fractions, calculer le plus grand commun diviseur (PGCD) ou le plus petit commun multiple (PPCM) d’entiers.