Exercice 31

Écrire la décomposition en facteurs premiers de 252.

Réponse

\(252 = 2^2 \times 3^2 \times 7\)

Corrigé détaillé

Explication de la décomposition en facteurs premiers de 252

Rappel du théorème fondamental de l’arithmétique

Selon ce théorème, tout entier supérieur à 1 se décompose de façon unique (à l’ordre près) en produit de nombres premiers.

Étape 1 : Tester la divisibilité par 2

1. Un nombre est divisible par 2 s’il est pair (chiffre des unités : 0, 2, 4, 6 ou 8). 252 est pair.
2. On calcule la division : \[ 252 \div 2 = 126. \]
3. On retient 2 comme facteur premier et on continue avec le quotient 126.

Étape 2 : Diviser encore par 2

1. 126 est aussi pair.
2. Division : \[ 126 \div 2 = 63. \]
3. On retient un second 2 et on poursuit avec 63.

Étape 3 : Tester la divisibilité par 2 et passer au nombre premier suivant

1. 63 n’est plus pair, donc plus divisible par 2.
2. On passe au prochain nombre premier, 3.

Étape 4 : Divisibilité par 3

1. Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. Pour 63, on a 6 + 3 = 9, qui est divisible par 3.
2. Division : \[ 63 \div 3 = 21. \]
3. On retient 3 et on continue avec le quotient 21.

Étape 5 : Diviser encore par 3

1. Tester 21 : 2 + 1 = 3, donc divisible par 3.
2. Division : \[ 21 \div 3 = 7. \]
3. On retient un second 3 et on poursuit avec 7.

Étape 6 : Dernier facteur premier

1. Le quotient restant est 7, qui est lui-même un nombre premier.
2. On retient 7.

Conclusion

En regroupant tous les facteurs premiers trouvés, on obtient la décomposition :

\[ 252 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3^2 \times 7. \]

Chaque étape utilise des tests de divisibilité simples et le théorème fondamental de l’arithmétique pour garantir que la factorisation est complète et unique.