Le nombre 91 est-il premier ? Justifier.
Non, 91 n’est pas premier car \(91 = 7 \times 13\).
Un nombre premier est un nombre entier supérieur à 1 qui n’admet que deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Pour vérifier si 91 est premier, on cherche un entier \(d>1\) qui divise 91. On commence par tester les plus petits entiers \(d=2,3,4,\dots\) et on s’arrête dès qu’on trouve un diviseur ou qu’on a épuisé les candidats raisonnables.
Divisibilité par 2 : 91 est impair, donc il n’est pas divisible par 2.
Divisibilité par 3 : la somme des chiffres est \(9+1=10\). Comme 10 n’est pas multiple de 3, 91 n’est pas divisible par 3.
Divisibilité par 4 : si un nombre n’est pas divisible par 2, il ne peut pas l’être par 4.
Divisibilité par 5 : le dernier chiffre de 91 n’est ni 0 ni 5, donc pas de divisibilité par 5.
Divisibilité par 6 : \(6 = 2 \times 3\). Comme 91 n’est divisible ni par 2 ni par 3, il n’est pas divisible par 6.
Divisibilité par 7 : on cherche un entier \(q\) tel que
\[7 \times q = 91.\]
On trouve \(q=13\) car \(7 \times 13 = 91\). Ainsi, 7 divise 91.
Puisque 91 admet un diviseur non trivial (7), il possède plus de deux diviseurs et n’est donc pas un nombre premier.