Exercice 35

Décomposer 540 en produit de facteurs premiers et déterminer combien ce nombre possède de diviseurs.

Réponse

\(540 = 2^2 \times 3^3 \times 5\) et il possède \(24\) diviseurs.

Corrigé détaillé

Présentation du problème

L’exercice se divise en deux étapes : décomposer 540 en facteurs premiers, puis en déduire le nombre de ses diviseurs.

Décomposition en facteurs premiers

Pour décomposer un entier, on divise successivement par les plus petits nombres premiers.

Étape 1 : division par 2

• 540 est pair, donc divisible par 2.
• On calcule : \(540 \div 2 = 270\).
• Comme 270 est encore pair : \(270 \div 2 = 135\).
• 135 n’est plus divisible par 2, l’exposant de 2 dans la décomposition est donc 2.

Étape 2 : division par 3

• On teste la divisibilité de 135 par 3 : la somme des chiffres (1+3+5=9) est multiple de 3.
• On calcule : \(135 \div 3 = 45\).
• On poursuit : \(45 \div 3 = 15\), puis \(15 \div 3 = 5\).
• Le résultat 5 n’est plus divisible par 3. L’exposant de 3 est donc 3.

Étape 3 : dernier facteur

• Le quotient final est 5, qui est un nombre premier.
• Son exposant est 1.

Factorisation finale

En regroupant, on obtient : \[ 540 = 2^2 \times 3^3 \times 5. \]

Calcul du nombre de diviseurs

D’après le théorème fondamental de l’arithmétique, si un entier s’écrit \[ n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \dots \times p_k^{a_k}, \] alors le nombre de diviseurs positifs de \(n\) est \[ (a_1 + 1) \times (a_2 + 1) \times \cdots \times (a_k + 1). \]

Ici, pour \(540 = 2^2 \times 3^3 \times 5^1\) on a : - \(a_1 = 2\), \(a_2 = 3\), \(a_3 = 1\) - Nombre de diviseurs : \((2+1)\times(3+1)\times(1+1) = 3\times4\times2 = 24.\)

Conclusion

Le nombre 540 se décompose en \(2^2 \times 3^3 \times 5\) et il possède 24 diviseurs positifs.