Exercice 9

Décomposer 24 en produit de facteurs premiers.

Réponse

\[24 = 2^3 \times 3\]

Corrigé détaillé

Présentation de l’exercice

Nous devons écrire le nombre 24 comme un produit de facteurs premiers, c’est-à-dire exprimer 24 uniquement à l’aide de nombres premiers multipliés entre eux.

Rappel : nombre premier

Un nombre premier est un entier naturel supérieur à 1 qui n’admet que deux diviseurs : 1 et lui-même. Les premiers plus petits sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, …

Méthode de décomposition en facteurs premiers

On utilise la méthode de la division successive par les plus petits nombres premiers.

Étape 1 : Diviser par 2 tant que possible

1. 24 est pair, donc divisible par 2.

2. On calcule : \[ 24 \div 2 = 12 \]

3. On retient le facteur 2.

4. 12 est encore pair, on répète : \[ 12 \div 2 = 6 \]

5. On retient un second facteur 2.

6. 6 est encore pair, on répète : \[ 6 \div 2 = 3 \]

7. On retient un troisième facteur 2.

Après ces trois divisions, le quotient devient 3, qui n’est plus divisible par 2.

Étape 2 : Passer au nombre premier suivant (3)

1. Le quotient actuel est 3. C’est un nombre premier.
2. On vérifie : 3 divisé par 3 donne 1. \[ 3 \div 3 = 1 \]
3. On retient le facteur 3.

Le processus s’arrête dès que le quotient devient 1.

Conclusion

En listant tous les facteurs premiers retenus, on obtient : \[ 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3 \]

Ainsi, la décomposition en facteurs premiers de 24 est bien \(2^3 \times 3\).