Décomposer 18 en produit de facteurs premiers.
\[2\times 3^2\]
Pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, on cherche à exprimer ce nombre comme un produit de nombres premiers, c’est-à-dire des entiers supérieurs à 1 qui n’ont pas d’autre diviseur que 1 et eux-mêmes. Cette décomposition est unique, selon le théorème fondamental de l’arithmétique.
Décomposer 18 en un produit de facteurs premiers.
Un nombre pair est divisible par 2. Comme 18 se termine par un chiffre pair, on peut écrire :
\[ 18 = 2 \times 9 \]
Ici, 2 est un nombre premier et 9 est le quotient de la division par 2.
Maintenant, on cherche à décomposer 9. On teste les petits nombres premiers : - 9 n’est pas pair, donc pas divisible par 2. - La somme des chiffres de 9 est 9, qui est multiple de 3, donc 9 est divisible par 3.
On écrit alors :
\[ 9 = 3 \times 3 \]
Les deux facteurs 3 sont des nombres premiers.
En remplaçant la décomposition de 9 dans la première égalité, on obtient :
\[ 18 = 2 \times (3 \times 3) \]
On peut regrouper les deux facteurs 3 sous la forme d’une puissance :
\[ 18 = 2 \times 3^2 \]
La décomposition en facteurs premiers de 18 est donc :
\[ 18 = 2 \times 3^2. \]