Combien y a-t-il de nombres premiers compris entre 20 et 40 ?
\(4\)
Un nombre premier est un entier strictement supérieur à 1 qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Nous recherchons tous les entiers entre 20 et 40 (inclus). On obtient la liste suivante :
20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40.
Un nombre pair est divisible par \(2\) et n’est pas premier (sauf 2, qui est en dehors de notre intervalle). Retirons :
20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40.
Il reste :
21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39.
Un nombre qui se termine par 0 ou 5 est multiple de \(5\). Retirons :
25, 35.
Il reste :
21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39.
Pour savoir si un nombre est multiple de \(3\), on additionne ses chiffres : si la somme est un multiple de \(3\), alors le nombre l’est aussi. - 21 : \(2+1=3\) → multiple de 3 → on l’écarte. - 27 : \(2+7=9\) → multiple de 3 → on l’écarte. - 33 : \(3+3=6\) → multiple de 3 → on l’écarte. - 39 : \(3+9=12\) → multiple de 3 → on l’écarte.
Il reste :
23, 29, 31, 37.
Pour chacun de ces nombres, on vérifie qu’ils n’ont pas d’autre diviseur entier que 1 et eux-mêmes. Ils ne sont pas pairs, pas multiples de 3, pas multiples de 5 et aucun petit entier ne les divise exactement.
Conclusion : Les nombres premiers entre 20 et 40 sont :
\[23,\ 29,\ 31,\ 37\]
Ils sont au nombre de \(4\).